第3题

平面上有两个全等的正

n

边形

S

和

T

，且它们的交集是一个

2n

边形（

n \ge 3

）。将

S

的边染红、

T

的边染蓝。证明

S\cap T

的蓝色边长总和等于红色边长总和。

第 4/6 步：比较相等的周长

上一步下一步

(h+k)x+y=(h+k)y+x\implies (h+k-1)x=(h+k-1)y

详细分析

在 $S$ 的每条边上，相邻角三角形部分的长度分别为 $kp_i$ 和 $hp_{i+1}$ ，中间的红色边界段长度为 $q_i$ 。沿边界求和得 $\operatorname{per}(S)=(h+k)x+y$ 。同理 $\operatorname{per}(T)=(h+k)y+x$ 。由于 $S$ 与 $T$ 全等，周长相等，于是得到所示关系。