MathLabs

第4题

在笛卡尔坐标平面中，若一个坐标为有理数而另一个为无理数，则称该点为混合点。求图像不含混合点的所有实系数多项式。
第 6/7 步：使用有理根定理
上一步下一步
f(x)−q∈Z[x] monic,q−f(0)=p  ⟹  r∈{1,p,−1,−p}∩(1,p),f(x)-q\in\mathbb Z[x]\text{ monic},\quad q-f(0)=p\implies r\in\{1,p,-1,-p\}\cap(1,p),
详细分析

首一整系数多项式 f(x)-q 的有理根必为整除常数项的整数，其绝对值为 p。正有理根只可能是 1 或 p，但 r 严格在两者之间，故 r 无理；这与有理纵坐标 q 时的图像条件矛盾。