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亚太数学奥林匹克 · 2002年

试题

  1. 第1题设 a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_n 是非负整数序列，且 An=(a1+a2+⋯+an)/nA_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)/n。其中 a≥1a\ge1 时 a!=1⋅2⋯aa!=1\cdot2\cdots a，0!=10!=1。证明 a1!a2!⋯an!≥(⌊An⌋!)na_1!a_2!\cdots a_n!\ge (\lfloor A_n\rfloor!)^n，并求等号成立条件。解法: 1
  2. 第2题求所有正整数 a,ba,b，使得 a2+bb2−a\frac{a^2+b}{b^2-a} 与 b2+aa2−b\frac{b^2+a}{a^2-b} 都是整数。解法: 1
  3. 第3题设 ABCABC 为等边三角形。点 PP 在 ACAC 上、点 QQ 在 ABAB 上，且三角形 ABPABP 与 ACQACQ 都是锐角三角形。分别设三角形 ABPABP、ACQACQ 的垂心为 RR、SS，设线段 BPBP 与 CQCQ 的公共点为 TT。求使三角形 TRSTRS 为等边三角形时 ∠CBP\angle CBP 与 ∠BCQ\angle BCQ 的所有可能值。解法: 1
  4. 第4题设正数 x,y,zx,y,z 满足 1x+1y+1z=1\frac1x+\frac1y+\frac1z=1。证明 x+yz+y+zx+z+xy≥xyz+x+y+z\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}。解法: 1
  5. 第5题设 R\mathbb R 为全体实数。求所有函数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R,使得 (i) 仅有有限个 s∈Rs\in\mathbb R 满足 f(s)=0f(s)=0,且 (ii) 对任意 x,y∈Rx,y\in\mathbb R, f(x4+y)=x3f(x)+f(f(y))f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y))。解法: 1