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第5题

设 R\mathbb R 为全体实数。求所有函数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R,使得 (i) 仅有有限个 s∈Rs\in\mathbb R 满足 f(s)=0f(s)=0,且 (ii) 对任意 x,y∈Rx,y\in\mathbb R, f(x4+y)=x3f(x)+f(f(y))f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y))。
第 1/3 步：提取基本恒等式
上一步下一步
P(x,y):f(x4+y)=x3f(x)+f(f(y))P(x,y): f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y))
详细分析

由 P(1,0)P(1,0) 得 f(f(0))=0f(f(0))=0。由 P(0,y)P(0,y) 得 f(y)=f(f(y))f(y)=f(f(y));取 y=0y=0 得 f(0)=0f(0)=0。因此对一切 yy 有 f(f(y))=f(y)f(f(y))=f(y)。