MathLabs

第1题

设 a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_n 是非负整数序列，且 An=(a1+a2+⋯+an)/nA_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)/n。其中 a≥1a\ge1 时 a!=1⋅2⋯aa!=1\cdot2\cdots a，0!=10!=1。证明 a1!a2!⋯an!≥(⌊An⌋!)na_1!a_2!\cdots a_n!\ge (\lfloor A_n\rfloor!)^n，并求等号成立条件。
第 1/6 步：排序并取整
上一步下一步
s=⌊An⌋,a1≥a2≥⋯≥an.s=\lfloor A_n\rfloor,\qquad a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n.
详细分析

重排不改变乘积。令 s 为平均值的取整，并取 k 使（按端点约定）ak≥s≥ak+1a_k\ge s\ge a_{k+1}。