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亚太数学奥林匹克
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2002年
›
第1题
第1题
设
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
a_1,a_2,\dots,a_n
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
是非负整数序列，且
A
n
=
(
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
)
/
n
A_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)/n
A
n
=
(
a
1
+
a
2
+
⋯
+
a
n
)
/
n
。其中
a
≥
1
a\ge1
a
≥
1
时
a
!
=
1
⋅
2
⋯
a
a!=1\cdot2\cdots a
a
!
=
1
⋅
2
⋯
a
，
0
!
=
1
0!=1
0
!
=
1
。证明
a
1
!
a
2
!
⋯
a
n
!
≥
(
⌊
A
n
⌋
!
)
n
a_1!a_2!\cdots a_n!\ge (\lfloor A_n\rfloor!)^n
a
1
!
a
2
!
⋯
a
n
!
≥
(⌊
A
n
⌋!
)
n
，并求等号成立条件。
第 2/6 步：比较超额
上一步
下一步
A
=
∑
i
=
1
k
(
a
i
−
s
)
,
B
=
∑
i
=
k
+
1
n
(
s
−
a
i
)
,
A
≥
B
.
A=\sum_{i=1}^{k}(a_i-s),\qquad B=\sum_{i=k+1}^{n}(s-a_i),\qquad A\ge B.
A
=
i
=
1
∑
k
(
a
i
−
s
)
,
B
=
i
=
k
+
1
∑
n
(
s
−
a
i
)
,
A
≥
B
.
详细分析
由于平均值不小于 s，高于 s 的总超额至少等于低于 s 的总不足。
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