MathLabs

第1题

设 a1,a2,…,ana_1,a_2,\dots,a_n 是非负整数序列，且 An=(a1+a2+⋯+an)/nA_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)/n。其中 a≥1a\ge1 时 a!=1⋅2⋯aa!=1\cdot2\cdots a，0!=10!=1。证明 a1!a2!⋯an!≥(⌊An⌋!)na_1!a_2!\cdots a_n!\ge (\lfloor A_n\rfloor!)^n，并求等号成立条件。
第 3/6 步：围绕 s 重写
上一步下一步
∏i=1nai!(s!)n=∏i=1k∏j=1ai−s(s+j)∏i=k+1n∏j=0s−ai−1(s−j).\frac{\prod_{i=1}^{n}a_i!}{(s!)^n}=\frac{\prod_{i=1}^{k}\prod_{j=1}^{a_i-s}(s+j)}{\prod_{i=k+1}^{n}\prod_{j=0}^{s-a_i-1}(s-j)}.
详细分析

把每个阶乘分解为 s! 与高于或低于 s 的因子。分子有 A 个因子且每个至少为 s+1；分母有 B 个因子且每个至多为 s。