第1题

设

a_1,a_2,\dots,a_n

是非负整数序列，且

A_n=(a_1+a_2+\cdots+a_n)/n

。其中

a\ge1

时

a!=1\cdot2\cdots a

，

0!=1

。证明

a_1!a_2!\cdots a_n!\ge (\lfloor A_n\rfloor!)^n

，并求等号成立条件。

第 4/6 步：证明不等式

A\ge B\implies\prod_{i=1}^{n}a_i!\ge(s!)^n.

详细分析

用分子中的 $B$ 个因子与分母相消，剩余分子因子均至少为 1，故不等式成立。等号需另行分析：若 $s>0$ 且 $A>B$ ，至少有一个剩余因子大于 1；而当 $s=0$ 时所有因子可能都为 1，这将在下一步处理。