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亚太数学奥林匹克
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2002年
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第2题
第2题
求所有正整数
a
,
b
a,b
a
,
b
，使得
a
2
+
b
b
2
−
a
\frac{a^2+b}{b^2-a}
b
2
−
a
a
2
+
b
与
b
2
+
a
a
2
−
b
\frac{b^2+a}{a^2-b}
a
2
−
b
b
2
+
a
都是整数。
第 3/7 步：限定两种情形
上一步
下一步
b
2
+
a
a
2
−
b
∈
Z
>
0
⟹
b
2
+
a
≥
a
2
−
b
⟹
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
≤
a
+
b
⟹
a
−
b
≤
1.
\frac{b^2+a}{a^2-b}\in\mathbb Z_{>0}\implies b^2+a\ge a^2-b\implies (a-b)(a+b)\le a+b\implies a-b\le1.
a
2
−
b
b
2
+
a
∈
Z
>
0
⟹
b
2
+
a
≥
a
2
−
b
⟹
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
≤
a
+
b
⟹
a
−
b
≤
1.
详细分析
第二个分母为正。由于商为正整数，分子至少等于分母。因式分解所得不等式并利用 a+b>0，得到 a-b 不超过 1。
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