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第3题

设 ABCABC 为等边三角形。点 PP 在 ACAC 上、点 QQ 在 ABAB 上,且三角形 ABPABP 与 ACQACQ 都是锐角三角形。分别设三角形 ABPABP、ACQACQ 的垂心为 RR、SS,设线段 BPBP 与 CQCQ 的公共点为 TT。求使三角形 TRSTRS 为等边三角形时 ∠CBP\angle CBP 与 ∠BCQ\angle BCQ 的所有可能值。
第 2/8 步:证明比较引理
α>β  ⟹  RT>ST.\alpha>\beta\implies RT>ST.
详细分析

令等边三角形三条高交于中心 G。P、Q 位于相应高的线段上,T 位于相应中心三角形内。按官方解答将 R、S 投影到过 A 的高和 BC 上。由相等的高,alpha>beta 时 GS<GR;两个投影不等式推出 RT>ST。