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第3题

设 ABCABC 为等边三角形。点 PP 在 ACAC 上、点 QQ 在 ABAB 上，且三角形 ABPABP 与 ACQACQ 都是锐角三角形。分别设三角形 ABPABP、ACQACQ 的垂心为 RR、SS，设线段 BPBP 与 CQCQ 的公共点为 TT。求使三角形 TRSTRS 为等边三角形时 ∠CBP\angle CBP 与 ∠BCQ\angle BCQ 的所有可能值。
第 3/8 步：应用对称引理
上一步下一步
α>β  ⟹  RT>ST,β>α  ⟹  ST>RT.\alpha>\beta\implies RT>ST,\qquad\beta>\alpha\implies ST>RT.
详细分析

交换两边的角色得到第二个蕴含。若 TRS 为等边三角形则 RT=ST，所以两个严格不等式都不可能，必有 alpha=beta。