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亚太数学奥林匹克
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2002年
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第4题
第4题
设正数
x
,
y
,
z
x,y,z
x
,
y
,
z
满足
1
x
+
1
y
+
1
z
=
1
\frac1x+\frac1y+\frac1z=1
x
1
+
y
1
+
z
1
=
1
。证明
x
+
y
z
+
y
+
z
x
+
z
+
x
y
≥
x
y
z
+
x
+
y
+
z
\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}
x
+
y
z
+
y
+
z
x
+
z
+
x
y
≥
x
y
z
+
x
+
y
+
z
。
第 6/8 步：开平方
上一步
下一步
(
x
+
y
z
)
(
y
+
z
x
)
≥
(
1
+
z
)
x
y
=
x
y
+
x
y
z
z
.
\sqrt{(x+yz)(y+zx)}\ge(1+z)\sqrt{xy}=\sqrt{xy}+\sqrt{xyz}\sqrt z.
(
x
+
y
z
)
(
y
+
z
x
)
≥
(
1
+
z
)
x
y
=
x
y
+
x
y
z
z
.
详细分析
所有量均为正。循环置换给出 x、y 在其他位置的类似不等式。
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