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第4题

设正数 x,y,zx,y,z 满足 1x+1y+1z=1\frac1x+\frac1y+\frac1z=1。证明 x+yz+y+zx+z+xy≥xyz+x+y+z\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}。
第 8/8 步：结论
上一步下一步
L2−R2≥0  ⟹  L≥R.L^2-R^2\ge0\implies L\ge R.
详细分析

由于 xy+yz+zx=xyz，L^2 与 R^2 的非交叉项相等。求和估计处理了全部交叉项，故 L^2 不小于 R^2。等号在 x=y=z=3 时成立。