第5题

设

\mathbb R

为全体实数。求所有函数

f:\mathbb R\to\mathbb R

,使得 (i) 仅有有限个

s\in\mathbb R

满足

f(s)=0

,且 (ii) 对任意

x,y\in\mathbb R

f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y))

。

第 2/3 步：证明可加性

上一步下一步

f(x^4+y)=f(x^4)+f(y)

详细分析

代入得。令得 ,故当时。在同一方程中比较得时 ,所以可加性推广到所有实数。 $f(f(y))=f(y)$ $f(x^4+y)=x^3f(x)+f(y)$ $y=0$ $f(x^4)=x^3f(x)$ $f(u+v)=f(u)+f(v)$ $u=x^4\ge0$ $x$ $-x$ $f(-x)=-f(x)$ $x\ne0$ $u,v$