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第5题

设 R\mathbb R 为全体实数。求所有函数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R,使得 (i) 仅有有限个 s∈Rs\in\mathbb R 满足 f(s)=0f(s)=0,且 (ii) 对任意 x,y∈Rx,y\in\mathbb R, f(x4+y)=x3f(x)+f(f(y))f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y))。
第 3/3 步：利用零点有限性并作结论
上一步下一步
Z={s∈R:f(s)=0}={0}  ⟹  f injectiveZ=\{s\in\mathbb R:f(s)=0\}=\{0\}\implies f\text{ injective}
详细分析

若 h≠0h\ne0 且 f(h)=0f(h)=0，可加性给出对每个正整数 nn 都有 f(nh)=0f(nh)=0，与有限性矛盾。因此零点集为 Z={0}Z=\{0\}；若 f(a)=f(b)f(a)=f(b)，则 f(a−b)=0f(a-b)=0，故 ff 单射。由 f(f(x))=f(x)f(f(x))=f(x) 与单射性得 f(x)=xf(x)=x。直接代入可验证恒等函数。