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第1题

设 p(x)=x8−4x7+7x6+ax5+bx4+cx3+dx2+ex+fp(x)=x^8-4x^7+7x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f 分解为八个一次因子 x−rix-r_i,其中 ri>0r_i>0 且 i=1,2,…,8i=1,2,\ldots,8。求 ff 的所有可能值。
第 2/4 步:计算根的平方和
∑i=18ri2=(∑i=18ri)2−2∑i<jrirj=16−14=2\sum_{i=1}^8r_i^2=\left(\sum_{i=1}^8r_i\right)^2-2\sum_{i<j}r_ir_j=16-14=2
详细分析

利用恒等式 (∑ri)2=∑ri2+2∑i<jrirj(\sum r_i)^2=\sum r_i^2+2\sum_{i<j}r_ir_j 及上述数值,得到 ∑i=18ri2=42−2⋅7=2\sum_{i=1}^8r_i^2=4^2-2\cdot7=2。