亚太数学奥林匹克 · 2003年

试题

第1题设 $p(x)=x^8-4x^7+7x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f$ 分解为八个一次因子 $x-r_i$ ,其中 $r_i>0$ 且 $i=1,2,\ldots,8$ 。求 $f$ 的所有可能值。解法: 1
第2题设 $ABCD$ 是边长为 $a$ 的正方形。平面上有两条平行直线 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ ,相距 $a$ 。放置正方形使 $AB$ 和 $AD$ 分别与 $\ell_1$ 交于 $E$ 和 $F$ ,而 $CB$ 和 $CD$ 分别与 $\ell_2$ 交于 $G$ 和 $H$ 。若 $\triangle AEF$ 和 $\triangle CGH$ 的周长为 $m_1$ 和 $m_2$ ,证明无论怎样放置正方形, $m_1+m_2$ 都是常数。解法: 1
第3题设 $k\ge14$ 为整数， $p_k$ 为严格小于 $k$ 的最大素数，可假设 $p_k\ge3k/4$ 。设 $n$ 为合数。证明：(a) 若 $n=2p_k$ ，则 $n$ 不整除 $(n-k)!$ ；(b) 若 $n>2p_k$ ，则 $n$ 整除 $(n-k)!$ 。解法: 1
第4题设 $a,b,c$ 是满足 $a+b+c=1$ 的三角形边长, $n\ge2$ 为整数。证明 $\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{2^{1/n}}2$ 。解法: 1
第5题给定正整数 ,求最小正整数 ,使得任意个人中,要么有个人可分成对彼此认识的人,要么有个人可分成对彼此不认识的人。 $m$ $n$ $k$ $k$ $2m$ $m$ $2n$ $n$ 解法: 1