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第2题

设 ABCDABCD 是边长为 aa 的正方形。平面上有两条平行直线 ℓ1\ell_1 和 ℓ2\ell_2,相距 aa。放置正方形使 ABAB 和 ADAD 分别与 ℓ1\ell_1 交于 EE 和 FF,而 CBCB 和 CDCD 分别与 ℓ2\ell_2 交于 GG 和 HH。若 △AEF\triangle AEF 和 △CGH\triangle CGH 的周长为 m1m_1 和 m2m_2,证明无论怎样放置正方形,m1+m2m_1+m_2 都是常数。
第 2/4 步：使用四个切点
上一步下一步
OM⊥AB,ON⊥BC,OP⊥CD,OQ⊥DA,MP=NQ=aOM\perp AB,\quad ON\perp BC,\quad OP\perp CD,\quad OQ\perp DA,\qquad MP=NQ=a
详细分析

作以 OO 为圆心的两个旁切圆,它们与 AB,BC,CD,DAAB,BC,CD,DA 的切点分别为 M,N,P,QM,N,P,Q。由于正方形对边平行,M,O,PM,O,P 共线且 N,O,QN,O,Q 共线。平行两边的距离等于边长,故 MP=NQ=aMP=NQ=a。