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第2题

设 ABCDABCD 是边长为 aa 的正方形。平面上有两条平行直线 ℓ1\ell_1 和 ℓ2\ell_2,相距 aa。放置正方形使 ABAB 和 ADAD 分别与 ℓ1\ell_1 交于 EE 和 FF,而 CBCB 和 CDCD 分别与 ℓ2\ell_2 交于 GG 和 HH。若 △AEF\triangle AEF 和 △CGH\triangle CGH 的周长为 m1m_1 和 m2m_2,证明无论怎样放置正方形,m1+m2m_1+m_2 都是常数。
第 3/4 步：用相等切线长表示底边
上一步下一步
EF=EM+FQ,GH=GN+HPEF=EM+FQ,\qquad GH=GN+HP
详细分析

由同一点向旁切圆作出的两条切线等长,有 EF=EM+FQEF=EM+FQ 与 GH=GN+HPGH=GN+HP。于是 m1=AE+AF+EF=(AM+AQ)+(EM+FQ)=OM+OQm_1=AE+AF+EF=(AM+AQ)+(EM+FQ)=OM+OQ,而 m2=CG+CH+GH=ON+OPm_2=CG+CH+GH=ON+OP。