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第3题

设 k≥14k\ge14 为整数，pkp_k 为严格小于 kk 的最大素数，可假设 pk≥3k/4p_k\ge3k/4。设 nn 为合数。证明：(a) 若 n=2pkn=2p_k，则 nn 不整除 (n−k)!(n-k)!；(b) 若 n>2pkn>2p_k，则 nn 整除 (n−k)!(n-k)!。
第 2/5 步：估计阶乘的上界
上一步下一步
n>2pk≥3k/2  ⟹  k≤2n/3  ⟹  n−k≥n/3n>2p_k\ge3k/2\implies k\le2n/3\implies n-k\ge n/3
详细分析

由 n>2pkn>2p_k 与 pk≥3k/4p_k\ge3k/4 得 n>3k/2n>3k/2，故 k<2n/3k<2n/3 且 n−k>n/3n-k>n/3。又因 k≥14k\ge14 有 pk≥13p_k\ge13，所以 n>26n>26。