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第3题

设 k≥14k\ge14 为整数，pkp_k 为严格小于 kk 的最大素数，可假设 pk≥3k/4p_k\ge3k/4。设 nn 为合数。证明：(a) 若 n=2pkn=2p_k，则 nn 不整除 (n−k)!(n-k)!；(b) 若 n>2pkn>2p_k，则 nn 整除 (n−k)!(n-k)!。
第 4/5 步：使用两个至少为三的因子
上一步下一步
n=ab,a,b≥3,a,b≤n/3n=ab,\qquad a,b\ge3,\qquad a,b\le n/3
详细分析

否则取 nn 的一个奇素因子 aa,令 b=n/ab=n/a。若 b≥3b\ge3 且 b≠ab\ne a,不妨令 a≤ba\le b,则 a,b≥3a,b\ge3 且都不超过 n/3n/3。因此二者都在 1,…,n−k1,\ldots,n-k 中,其分别相乘给出 n∣(n−k)!n\mid(n-k)!。