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第4题

设 a,b,ca,b,c 是满足 a+b+c=1a+b+c=1 的三角形边长,n≥2n\ge2 为整数。证明 an+bnn+bn+cnn+cn+ann<1+21/n2\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{2^{1/n}}2。
第 2/5 步：估计最大两边的一对
上一步下一步
an+bnn<2ann=21/na<21/n2\sqrt[n]{a^n+b^n}<\sqrt[n]{2a^n}=2^{1/n}a<\frac{2^{1/n}}2
详细分析

因为 a,b>0a,b>0 且 b≤a<1/2b\le a<1/2,有 an+bn≤2ana^n+b^n\le2a^n,从而 an+bnn≤21/na<21/n/2\sqrt[n]{a^n+b^n}\le2^{1/n}a<2^{1/n}/2。