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第4题

设 a,b,ca,b,c 是满足 a+b+c=1a+b+c=1 的三角形边长,n≥2n\ge2 为整数。证明 an+bnn+bn+cnn+cn+ann<1+21/n2\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{2^{1/n}}2。
第 3/5 步：估计含 b 与 c 的一对
上一步下一步
(b+c/2)n>bn+cn  ⟹  bn+cnn<b+c/2(b+c/2)^n>b^n+c^n\implies\sqrt[n]{b^n+c^n}<b+c/2
详细分析

由于 b≥c>0b\ge c>0 且 n≥2n\ge2，令 t=c/b∈(0,1]t=c/b\in(0,1]。二项式展开中第一个附加项为 nt/2≥tnnt/2\ge t^n，其余项也都为正，故 (1+t/2)n>1+tn(1+t/2)^n>1+t^n。乘以 bnb^n 得 (b+c/2)n>bn+cn(b+c/2)^n>b^n+c^n，再开 nn 次方得到 bn+cnn<b+c/2\sqrt[n]{b^n+c^n}<b+c/2。