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第4题

设 a,b,ca,b,c 是满足 a+b+c=1a+b+c=1 的三角形边长,n≥2n\ge2 为整数。证明 an+bnn+bn+cnn+cn+ann<1+21/n2\sqrt[n]{a^n+b^n}+\sqrt[n]{b^n+c^n}+\sqrt[n]{c^n+a^n}<1+\frac{2^{1/n}}2。
第 4/5 步：估计含 c 与 a 的一对
上一步下一步
(c+a/2)n>cn+an  ⟹  cn+ann<a+c/2(c+a/2)^n>c^n+a^n\implies\sqrt[n]{c^n+a^n}<a+c/2
详细分析

对数对 (a,c)(a,c) 应用同样的估计：由于 a≥c>0a\ge c>0，有 (c+a/2)n>cn+an(c+a/2)^n>c^n+a^n，从而 cn+ann<a+c/2\sqrt[n]{c^n+a^n}<a+c/2。