MathLabs

亚太数学奥林匹克 · 2004年

试题

  1. 第1题求所有满足对任意 i,j∈Si,j\in S 都有 i+jgcd⁡(i,j)∈S\frac{i+j}{\gcd(i,j)}\in S 的正整数有限非空集合 SS。解法: 1
  2. 第2题设 OO 是锐角三角形 ABCABC 的外心,HH 是垂心。证明 △AOH\triangle AOH、△BOH\triangle BOH、△COH\triangle COH 中一个三角形的面积等于另外两个面积之和。解法: 1
  3. 第3题设平面上有一个含 2004 个点的集合 S,且任意三点不共线;令 L 为由 S 中点对确定的所有直线的集合。若两个点位于直线的两侧且均不在直线上,就称该直线分隔这两个点。证明可以至多用两种颜色给 S 染色,使得两点同色当且仅当分隔它们的 L 中直线条数为奇数。解法: 1
  4. 第4题对实数 x,令 floor(x) 为不超过 x 的最大整数。证明对每个正整数 n,floor((n-1)! 除以 n(n+1)) 都是偶数。解法: 1
  5. 第5题证明对所有正实数 a,b,c,都有 (a 的平方加 2)(b 的平方加 2)(c 的平方加 2) 不小于 9(ab+bc+ca)。解法: 1