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第1题

求所有满足对任意 i,j∈Si,j\in S 都有 i+jgcd⁡(i,j)∈S\frac{i+j}{\gcd(i,j)}\in S 的正整数有限非空集合 SS。
第 2/4 步：排除奇数元素
上一步下一步
k odd and maximal  ⟹  k+2gcd⁡(k,2)=k+2>kk\text{ odd and maximal}\implies\frac{k+2}{\gcd(k,2)}=k+2>k
详细分析

假设存在奇数元素,令 kk 为 SS 中最大的奇数。因 2∈S2\in S 且 gcd⁡(k,2)=1\gcd(k,2)=1,闭性给出 (k+2)/gcd⁡(k,2)=k+2∈S(k+2)/\gcd(k,2)=k+2\in S,与最大性矛盾。因此 SS 的所有元素都是偶数。