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第1题

求所有满足对任意 i,j∈Si,j\in S 都有 i+jgcd⁡(i,j)∈S\frac{i+j}{\gcd(i,j)}\in S 的正整数有限非空集合 SS。
第 3/4 步：排除大于 2 的第二个元素
上一步下一步
ℓ>2 second-smallest  ⟹  ℓ+2gcd⁡(ℓ,2)=ℓ2+1<ℓ\ell>2\text{ second-smallest}\implies\frac{\ell+2}{\gcd(\ell,2)}=\frac{\ell}{2}+1<\ell
详细分析

若存在 22 以外的元素,令 ℓ>2\ell>2 为第二小元素。它是偶数,故取 i=ℓ,j=2i=\ell,j=2 得 (ℓ+2)/gcd⁡(ℓ,2)=ℓ/2+1(\ell+2)/\gcd(\ell,2)=\ell/2+1。当 ℓ>2\ell>2 时该值严格位于 22 与 ℓ\ell 之间,与 ℓ\ell 的选取矛盾。