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第2题

设 OO 是锐角三角形 ABCABC 的外心,HH 是垂心。证明 △AOH\triangle AOH、△BOH\triangle BOH、△COH\triangle COH 中一个三角形的面积等于另外两个面积之和。
第 2/4 步：在中点处取距离平均
上一步下一步
M midpoint of BC,d(M,OH)=d(B,OH)+d(C,OH)2M\text{ midpoint of }BC,\qquad d(M,OH)=\frac{d(B,OH)+d(C,OH)}2
详细分析

令 MM 为 BCBC 中点。由于在线段两端位于同侧时到固定直线的距离沿线段仿射变化,d(M,OH)=(d(B,OH)+d(C,OH))/2d(M,OH)=(d(B,OH)+d(C,OH))/2。故 [BOH]+[COH]=OH⋅d(M,OH)[BOH]+[COH]=OH\cdot d(M,OH)。