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第2题

设 OO 是锐角三角形 ABCABC 的外心,HH 是垂心。证明 △AOH\triangle AOH、△BOH\triangle BOH、△COH\triangle COH 中一个三角形的面积等于另外两个面积之和。
第 4/4 步：比较三个面积
上一步下一步
[BOH]+[COH]=OH⋅2d(M,OH)2=OH⋅d(A,OH)2=[AOH][BOH]+[COH]=\frac{OH\cdot2d(M,OH)}2=\frac{OH\cdot d(A,OH)}2=[AOH]
详细分析

以 OHOH 为底,[AOH]=OH⋅d(A,OH)/2[AOH]=OH\cdot d(A,OH)/2。因此 [BOH]+[COH]=OH⋅d(M,OH)=OH⋅d(A,OH)/2=[AOH][BOH]+[COH]=OH\cdot d(M,OH)=OH\cdot d(A,OH)/2=[AOH]。故一个面积等于另外两个之和。