第3题

设平面上有一个含 2004 个点的集合 S,且任意三点不共线;令 L 为由 S 中点对确定的所有直线的集合。若两个点位于直线的两侧且均不在直线上,就称该直线分隔这两个点。证明可以至多用两种颜色给 S 染色,使得两点同色当且仅当分隔它们的 L 中直线条数为奇数。

第 4/5 步：计算七个区域

(n_1+n_4+n_7)+(n_2+n_5+n_7)+(n_3+n_6+n_7)=\sum_{i=1}^7n_i=2004-3=2001\equiv1\pmod2

详细分析

令 n_i 为 S 中位于区域 i 的点数,不计 p,q,r,并按三角形 pqr 周围七区域的标准编号。经过 p 且分隔 q,r 的直线对应区域 1,4,7;对于 q 和 r 则分别对应 2,5,7 与 3,6,7。三组之和恰好把 p,q,r 之外的每个点计一次,等于 2001,为奇数。