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亚太数学奥林匹克
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2004年
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第5题
第5题
证明对所有正实数 a,b,c,都有 (a 的平方加 2)(b 的平方加 2)(c 的平方加 2) 不小于 9(ab+bc+ca)。
第 3/5 步：把判别式化为第二个二次式
上一步
下一步
Δ
a
=
−
4
(
b
2
+
2
)
(
c
2
+
2
)
(
(
2
c
2
+
1
)
b
2
−
6
c
b
+
c
2
+
2
)
\Delta_a=-4(b^2+2)(c^2+2)\bigl((2c^2+1)b^2-6cb+c^2+2\bigr)
Δ
a
=
−
4
(
b
2
+
2
)
(
c
2
+
2
)
(
(
2
c
2
+
1
)
b
2
−
6
c
b
+
c
2
+
2
)
详细分析
直接展开 F 的判别式得到显示式。前面的因子为正,所以只需证明 G(b)=(2c 的平方+1)b 的平方−6cb+c 的平方+2 非负。
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