MathLabs

第5题

证明对所有正实数 a,b,c,都有 (a 的平方加 2)(b 的平方加 2)(c 的平方加 2) 不小于 9(ab+bc+ca)。
第 4/5 步：证明第二个二次式非负
上一步下一步
Δb=36c2−4(2c2+1)(c2+2)=−8(c2−1)2≤0\Delta_b=36c^2-4(2c^2+1)(c^2+2)=-8(c^2-1)^2\le0
详细分析

把 G 看作关于 b 的二次式。其二次项系数 2c 的平方+1>0,判别式为 −8(c 的平方−1) 的平方≤0。因此 G(b)≥0 对所有实 b 成立,F 的判别式不正,故 F(a)≥0。