亚太数学奥林匹克 · 2006年

试题

第1题设 $n$ 为正整数。求最大的非负实数 $f(n)$ ，使得当实数 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 的和为整数时，总存在指标 $i$ 满足 $\left|a_i-\frac12\right|\ge f(n)$ 。解法: 1
第2题证明每个正整数都能写成黄金比 $\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}$ 的有限个互不相同整数次幂之和。这里整数次幂指 $\phi^i$ ，其中 $i$ 为不必为正的整数。解法: 1
第3题设 $p\ge5$ 为素数。令 $r$ 为在 $p\times p$ 棋盘上放置 $p$ 个相同棋子的方式数，要求棋子不全在同一行（但可以全在同一列）。证明 $r$ 被 $p^5$ 整除。解法: 1
第4题设 $A,B$ 是给定圆 $O$ 上的两个不同点， $P$ 为 $AB$ 的中点。设圆 $O_1$ 在 $P$ 处与直线 $AB$ 相切，并与 $O$ 相切。设过 $A$ 的、不同于 $AB$ 的 $O_1$ 的切线为 $\ell$ ， $\ell$ 与 $O$ 的不同于 $A$ 的另一个交点为 $C$ 。设 $Q$ 为 $BC$ 的中点，圆 $O_2$ 在 $Q$ 处与直线 $BC$ 相切，并与线段 $AC$ 相切。证明 $O_2$ 与 $O$ 相切。解法: 1
第5题马戏团有 $n$ 个小丑，从 12 种互不相同的颜色中选色来着装和化妆。每个小丑至少使用五种不同颜色。团长要求任意两个小丑使用的颜色集合不完全相同，且每一种颜色至多被 20 个小丑使用。求可能的 $n$ 的最大值。解法: 1