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第1题

设 nn 为正整数。求最大的非负实数 f(n)f(n)，使得当实数 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n 的和为整数时，总存在指标 ii 满足 ∣ai−12∣≥f(n)\left|a_i-\frac12\right|\ge f(n)。
第 2/5 步：假设所有偏差都很小
上一步下一步
∣ai−12∣<12n (1≤i≤n)⟹∣∑i=1nai−n2∣<12\left|a_i-\frac12\right|<\frac1{2n}\ (1\le i\le n)\Longrightarrow\left|\sum_{i=1}^n a_i-\frac n2\right|<\frac12
详细分析

现在令 nn 为奇数，并反设所有 ∣ai−12∣<12n\left|a_i-\frac12\right|<\frac1{2n}。将这些严格不等式相加得到 ∣∑i=1nai−n2∣<12\left|\sum_{i=1}^n a_i-\frac n2\right|<\frac12。