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第1题

设 nn 为正整数。求最大的非负实数 f(n)f(n)，使得当实数 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n 的和为整数时，总存在指标 ii 满足 ∣ai−12∣≥f(n)\left|a_i-\frac12\right|\ge f(n)。
第 3/5 步：利用半整数障碍
上一步下一步
∑i=1nai∈Z,n2∈Z+12\sum_{i=1}^n a_i\in\mathbb Z,\quad\frac n2\in\mathbb Z+\frac12
详细分析

总和 ∑i=1nai\sum_{i=1}^n a_i 是整数，而因 nn 为奇数，n/2n/2 是半整数。因此二者距离至少为 12\frac12，与上一步的严格界矛盾。故存在指标满足 ∣ai−12∣≥12n\left|a_i-\frac12\right|\ge\frac1{2n}。