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第1题

设 nn 为正整数。求最大的非负实数 f(n)f(n)，使得当实数 a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n 的和为整数时，总存在指标 ii 满足 ∣ai−12∣≥f(n)\left|a_i-\frac12\right|\ge f(n)。
第 4/5 步：达到奇数情形的界
上一步下一步
n=2m+1,ai=m2m+1(1≤i≤n)n=2m+1,\qquad a_i=\frac{m}{2m+1}\quad(1\le i\le n)
详细分析

写成 n=2m+1n=2m+1，令每个 ai=m2m+1a_i=\frac{m}{2m+1}。此时总和为整数 mm，且每个距离为 ∣ai−12∣=12(2m+1)=12n\left|a_i-\frac12\right|=\frac1{2(2m+1)}=\frac1{2n}。因此下界可以达到。