第2题

证明每个正整数都能写成黄金比

\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}

的有限个互不相同整数次幂之和。这里整数次幂指

\phi^i

，其中

i

为不必为正的整数。

第 2/5 步：标准化展开

上一步下一步

N=\sum_{i=-k}^{k}a_i\phi^i,\qquad a_i\in\{0,1\},\quad a_i a_{i+1}=0

详细分析

由归纳假设， $N-1$ 有有限展开 $\sum a_i\phi^i$ ，其中 $a_i\in\{0,1\}$ 。反复用 $\phi^{i+1}+\phi^i=\phi^{i+2}$ 替换最左边的相邻 1。最左相邻对移到更高指数，故过程终止，并得到对每个 $i$ 都有 $a_i a_{i+1}=0$ 。