第2题

证明每个正整数都能写成黄金比

\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}

的有限个互不相同整数次幂之和。这里整数次幂指

\phi^i

，其中

i

为不必为正的整数。

第 4/5 步：把指数零处的 1 进位移开

上一步下一步

\cdots1.00\cdots=\cdots0.11\cdots,\qquad 1=\phi^{-1}+\phi^{-2}

详细分析

设 $a_0=1$ 。若其右边紧接两个零，用 $1=\phi^{-1}+\phi^{-2}$ 把块 $1.00$ 换成 $0.11$ ，于是 $a_0=0$ 。若右边以 $0100$ 开头，先把 $0100$ 改写为 $0011$ ，再使用相邻 $11$ 的恒等式；重复此操作，直到末端出现 $100$ 。再作同样进位即可得到 $a_0=0$ 且无相邻 1 的展开。