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第3题

设 p≥5p\ge5 为素数。令 rr 为在 p×pp\times p 棋盘上放置 pp 个相同棋子的方式数，要求棋子不全在同一行（但可以全在同一列）。证明 rr 被 p5p^5 整除。
第 4/5 步：得到所需乘积同余
上一步下一步
f(p2)−s0=s1p2+⋯≡0(modp4)f(p^2)-s_0=s_1p^2+\cdots\equiv0\pmod{p^4}
详细分析

展开 f(p2)−s0f(p^2)-s_0 得 s1p2+s2p4+⋯s_1p^2+s_2p^4+\cdots。因 p2∣s1p^2\mid s_1，首项被 p4p^4 整除，后续各项也被 p4p^4 整除。因此 f(p2)−s0≡0(modp4)f(p^2)-s_0\equiv0\pmod{p^4}，这正是第一步所需的同余。