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亚太数学奥林匹克
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2006年
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第4题
第4题
设
A
,
B
A,B
A
,
B
是给定圆
O
O
O
上的两个不同点，
P
P
P
为
A
B
AB
A
B
的中点。设圆
O
1
O_1
O
1
在
P
P
P
处与直线
A
B
AB
A
B
相切，并与
O
O
O
相切。设过
A
A
A
的、不同于
A
B
AB
A
B
的
O
1
O_1
O
1
的切线为
ℓ
\ell
ℓ
，
ℓ
\ell
ℓ
与
O
O
O
的不同于
A
A
A
的另一个交点为
C
C
C
。设
Q
Q
Q
为
B
C
BC
B
C
的中点，圆
O
2
O_2
O
2
在
Q
Q
Q
处与直线
B
C
BC
B
C
相切，并与线段
A
C
AC
A
C
相切。证明
O
2
O_2
O
2
与
O
O
O
相切。
第 1/5 步：定义辅助点
上一步
下一步
S
=
O
∩
O
1
,
T
=
S
P
∩
O
,
X
=
ℓ
∩
O
1
,
M
=
mid
(
X
P
)
S=O\cap O_1,\quad T=SP\cap O,\quad X=\ell\cap O_1,\quad M=\operatorname{mid}(XP)
S
=
O
∩
O
1
,
T
=
S
P
∩
O
,
X
=
ℓ
∩
O
1
,
M
=
mid
(
X
P
)
详细分析
令
S
S
S
为
O
O
O
与
O
1
O_1
O
1
的切点，
T
T
T
为
S
P
SP
S
P
与
O
O
O
的第二交点，
X
X
X
为
ℓ
\ell
ℓ
与
O
1
O_1
O
1
的切点，
M
M
M
为
X
P
XP
X
P
的中点。
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