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第4题

设 A,BA,B 是给定圆 OO 上的两个不同点，PP 为 ABAB 的中点。设圆 O1O_1 在 PP 处与直线 ABAB 相切，并与 OO 相切。设过 AA 的、不同于 ABAB 的 O1O_1 的切线为 ℓ\ell，ℓ\ell 与 OO 的不同于 AA 的另一个交点为 CC。设 QQ 为 BCBC 的中点，圆 O2O_2 在 QQ 处与直线 BCBC 相切，并与线段 ACAC 相切。证明 O2O_2 与 OO 相切。
第 2/5 步：提取切圆比例关系
上一步下一步
△TBP∼△ASP,△PAM∼△SPX,XSXP⋅PTPB=12\triangle TBP\sim\triangle ASP,\qquad \triangle PAM\sim\triangle SPX,\qquad \frac{XS}{XP}\cdot\frac{PT}{PB}=\frac12
详细分析

由切线弦角相等得 △TBP∼△ASP\triangle TBP\sim\triangle ASP。又由 XX 处直角及 MM 的定义得 △PAM∼△SPX\triangle PAM\sim\triangle SPX。合并对应边比得到 XSXP⋅PTPB=12\frac{XS}{XP}\cdot\frac{PT}{PB}=\frac12。