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第4题

设 A,BA,B 是给定圆 OO 上的两个不同点，PP 为 ABAB 的中点。设圆 O1O_1 在 PP 处与直线 ABAB 相切，并与 OO 相切。设过 AA 的、不同于 ABAB 的 O1O_1 的切线为 ℓ\ell，ℓ\ell 与 OO 的不同于 AA 的另一个交点为 CC。设 QQ 为 BCBC 的中点，圆 O2O_2 在 QQ 处与直线 BCBC 相切，并与线段 ACAC 相切。证明 O2O_2 与 OO 相切。
第 4/5 步：证明 N 是中点
上一步下一步
QNQC=PTPB,QCQA′=XSXP⟹QA′=2QN\frac{QN}{QC}=\frac{PT}{PB},\quad\frac{QC}{QA'}=\frac{XS}{XP}\Longrightarrow QA'=2QN
详细分析

两组相似给出 QNQC=PTPB\frac{QN}{QC}=\frac{PT}{PB} 与 QCQA′=XSXP\frac{QC}{QA'}=\frac{XS}{XP}。将二式相乘并使用 XSXP⋅PTPB=12\frac{XS}{XP}\cdot\frac{PT}{PB}=\frac12，得 QNQA′=12\frac{QN}{QA'}=\frac12，所以 QA′=2QNQA'=2QN 且 NN 是 QA′QA' 的中点。