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第3题

在平面上考虑 nn 个圆盘 C1,C2,…,CnC_1,C_2,\ldots,C_n,满足对每个 1≤i<n1\le i<n,CiC_i 的圆心在 Ci+1C_{i+1} 的圆周上,且 CnC_n 的圆心在 C1C_1 的圆周上。定义得分为满足 CiC_i 真包含 CjC_j 的有序对 (i,j)(i,j) 数目。求可能的最大得分。
第 4/6 步:删除最后一个指标
G′=G∩{1,…,n−1}2,∣G∖G′∣≤n−2G'=G\cap\{1,\ldots,n-1\}^2,\qquad |G\setminus G'|\le n-2
详细分析

由于 (n,1)∈G(n,1)\in G,传递性禁止 (1,n−1)(1,n-1)。若含指标 nn 的有序对多于 n−2n-2,则 n−1n-1 个可能边界对全出现;由 (n,1)(n,1) 和传递性会推出被禁止的 (1,n)(1,n),矛盾。因此 ∣G∖G′∣≤n−2|G\setminus G'|\le n-2。