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第3题

在平面上考虑 nn 个圆盘 C1,C2,…,CnC_1,C_2,\ldots,C_n,满足对每个 1≤i<n1\le i<n,CiC_i 的圆心在 Ci+1C_{i+1} 的圆周上,且 CnC_n 的圆心在 C1C_1 的圆周上。定义得分为满足 CiC_i 真包含 CjC_j 的有序对 (i,j)(i,j) 数目。求可能的最大得分。
第 5/6 步:与最小性矛盾
∣G∣≤(n−2)(n−3)2+(n−2)=(n−1)(n−2)2|G|\le\frac{(n-2)(n-3)}2+(n-2)=\frac{(n-1)(n-2)}2
详细分析

限制集合 G′G' 在 n−1n-1 个指标上仍满足四条规则。由最小性 ∣G′∣≤(n−2)(n−3)2|G'|\le\frac{(n-2)(n-3)}2。结合 ∣G∖G′∣≤n−2|G\setminus G'|\le n-2 得 ∣G∣≤(n−1)(n−2)2|G|\le\frac{(n-1)(n-2)}2,矛盾。因此上界成立。