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第4题

设正实数 x,y,zx,y,z 满足 x+y+z=1x+y+z=1。证明 x2+yz2x2(y+z)+y2+zx2y2(z+x)+z2+xy2z2(x+y)≥1\frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}+\frac{y^2+zx}{\sqrt{2y^2(z+x)}}+\frac{z^2+xy}{\sqrt{2z^2(x+y)}}\ge1。
第 3/5 步：证明余项之和非负
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x≥y≥z⟹Rx≥0,Rz+Ry≥(y−z)(x−y)(12z2(x+y)−12y2(z+x))≥0x\ge y\ge z\Longrightarrow R_x\ge0,\quad R_z+R_y\ge (y-z)(x-y)\left(\frac1{\sqrt{2z^2(x+y)}}-\frac1{\sqrt{2y^2(z+x)}}\right)\ge0
详细分析

由对称性不妨设 x≥y≥zx\ge y\ge z。xx 的余项非负。合并另两个余项，并以较小的 x−yx-y 替换 x−zx-z，得 Ry+Rz≥(y−z)(x−y)(12z2(x+y)−12y2(z+x))R_y+R_z\ge (y-z)(x-y)\left(\frac1{\sqrt{2z^2(x+y)}}-\frac1{\sqrt{2y^2(z+x)}}\right)。最后括号非负，因为 y≥zy\ge z 且 y2(x+z)≥z2(x+y)y^2(x+z)\ge z^2(x+y)。