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第1题

设三角形 ABCABC 满足 ∠A<60∘\angle A<60^\circ。设 XX 和 YY 分别为边 ABAB 和 ACAC 上的点，且满足 CA+AX=CB+BXCA+AX=CB+BX 及 BA+AY=BC+CYBA+AY=BC+CY。设平面上的点 PP 使直线 PXPX 和 PYPY 分别垂直于 ABAB 和 ACAC。证明 ∠BPC<120∘\angle BPC<120^\circ。
第 1/5 步：确定 X 与 Y 的位置
上一步下一步
AD=AE=CA+AB−BC2,AX=AB+BC−CA2=BDAD=AE=\dfrac{CA+AB-BC}{2},\quad AX=\dfrac{AB+BC-CA}{2}=BD
详细分析

设 I 为内心，D,E 为 I 到 AB,AC 的垂足。不妨设 AC 是最长边，故 X 在 AD 上。由已知长度得 AX=(AB+BC−CA)/2，AY=(BC+CA−AB)/2。又因 AD=AE=(CA+AB−BC)/2，故 BD=AX 且 CE=AY。