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第1题

设三角形 ABCABC 满足 ∠A<60∘\angle A<60^\circ。设 XX 和 YY 分别为边 ABAB 和 ACAC 上的点,且满足 CA+AX=CB+BXCA+AX=CB+BX 及 BA+AY=BC+CYBA+AY=BC+CY。设平面上的点 PP 使直线 PXPX 和 PYPY 分别垂直于 ABAB 和 ACAC。证明 ∠BPC<120∘\angle BPC<120^\circ。
第 2/5 步:利用 IP 的中点
M=mid⁡(DX)=mid⁡(AB),N=mid⁡(EY)=mid⁡(AC)M=\operatorname{mid}(DX)=\operatorname{mid}(AB),\quad N=\operatorname{mid}(EY)=\operatorname{mid}(AC)
详细分析

设 O 为 IP 的中点,M,N 为 O 到 AB,AC 的垂足。由于 P 在过 X 的 AB 垂线上而 I 在过 D 的同一垂线上,M 是 DX 的中点;同理 N 是 EY 的中点。结合 BD=AX、CE=AY,M,N 分别是 AB,AC 的中点。