第1题

考虑对黑板上正实数进行如下操作：选择黑板上的数

r

并擦去，然后在黑板上写下一对满足

2r^2=ab

的正实数

a

和

b

。开始时黑板上只有一个正实数

r

，进行

k^2-1

次操作后得到

k^2

个正实数，它们不必互异。证明黑板上存在一个不超过

kr

的数。

第 1/4 步：估计一次替换

\frac1{a^2}+\frac1{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}\ge\frac{2ab}{a^2b^2}=\frac1{r^2}

详细分析

将 r 替换为满足 ab=2r^2 的 a,b 时，由 AM–GM，1/a^2+1/b^2=(a^2+b^2)/(a^2b^2)≥2ab/(a^2b^2)=1/r^2。