第1题

考虑对黑板上正实数进行如下操作：选择黑板上的数

r

并擦去，然后在黑板上写下一对满足

2r^2=ab

的正实数

a

和

b

。开始时黑板上只有一个正实数

r

，进行

k^2-1

次操作后得到

k^2

个正实数，它们不必互异。证明黑板上存在一个不超过

kr

的数。

第 2/4 步：定义追踪总和

S_0=\frac1{r^2},\quad S_\ell=\sum\frac1{x^2},\quad S_0\le S_1\le\cdots\le S_{k^2-1}

详细分析

令 $S_\ell$ 为进行 $\ell$ 次操作后黑板上所有数的倒数平方和。前一步估计说明 $S_\ell$ 单调不减，初始 $S_0=1/r^2$ 。因此 $S_{k^2-1}\ge1/r^2$ 。