第1题

考虑对黑板上正实数进行如下操作：选择黑板上的数

r

并擦去，然后在黑板上写下一对满足

2r^2=ab

的正实数

a

和

b

。开始时黑板上只有一个正实数

r

，进行

k^2-1

次操作后得到

k^2

个正实数，它们不必互异。证明黑板上存在一个不超过

kr

的数。

第 3/4 步：使用最终最小数

s=\min\{x_1,\ldots,x_{k^2}\},\quad \frac1{s^2}\le\frac1{x_i^2}

详细分析

最后得到的 $k^2$ 个数记为 $x_1,\ldots,x_{k^2}$ ，令 $s$ 为最小值。则每个倒数平方不超过 $1/s^2$ ，故其和不超过 $k^2/s^2$ 。